Orden y Caos G.50_04: Una leyenda árabe

Cuenta una leyenda árabe que Abdel Salam y Al-Mustafá, dos comerciantes persas, regresaban de un viaje de negocios realizados en tierras lejanas a su aldea de residencia, en compañía de otros comerciantes. Las personalidades de ambos personajes eran muy diferentes: Salam le gustaba presumir de su riqueza y era avaricioso, mientras que Mustafá era más callado y analítico, pendiente de la escucha.

Todas las noches durante el período de regreso, se sentaban los grupos de comerciantes alrededor de una fogata para compartir anéctodas, pero Salam, no hacía otra cosa más que presumir su riqueza aludiendo al hecho de que no había comerciante alguno que tuviese su riqueza, mientras que Mustafá se mantenía callado. Durante la última noche previo a su llegada a Persia, Mustafá tomó la palabra y dijo: soy tan rico que estoy en capacidad de regalar parte de mi fortuna a quien desee, sin que eso afecte mis finanzas, podría inclusive regalarle ese dinero al más rico de Persia (incluyendo a Salam) y aún así, este nunca me podría igualar.
Salam empezó a enfadarse de envidia, pero, seguía escuchando, Continuó Mustafá diciendo: para celebrar mi llegada a Persia, he decidido obsequiar durante un mes, la suma de $ 100 000 por día hasta llegar al día 31.

Salam, con su buen olfato para los negocios, no negó en ofrecerse como voluntario para albergar dicha fortuna, ofreciendo su incondicional amistad de por vida a Mustafá y que además, estaría dispuesto a cumplir cualquier favor. Entonces, Mustafá le dijo: acepto tu ofrecimiento, pero a cambio te pido lo siguiente, el primer día cuando vengas por los $ 100 000, deberás pagarme un centavo, el segundo día te llevarás otros $ 100 000 y me pagarás 2 centavos, similarmente al tercer dia me pagarás 4 centavos, y así sucesivamente hasta llegar al trigésimo primer día. Salam le extrañó la petición de Mustafá, pero al ver la ridícula cantidad que tenía que pagar en comparación con lo recibido, aceptó el trato.
Esa noche Salam no pudo conciliar el sueño, pensando en la cantidad de dinero que estaría recibiendo durante los siguientes 31 días.

Para resolver este problema, se deberá construir dos modelos diferentes: uno que muestre el ingreso que percibe Salam y otro que percibe Mustafá. Se recomienda hacerlo mediante un análisis comparativo donde podamos ver la evolución de ambos casos en el transcurso de las semanas.
Al final, debemos responder: ¿quién ganó más dinero: Salam o Mustafá?. Tome en cuenta que el modelo de ingresos que percibe la situación de Salam es de tipo lineal, mientras que el de Mustafá parece ser exponencial. Este segundo modelo exponencial, debe ser descrito mediante una fórmula recursiva, la cual deberá terminar resumida en una fórmula explícita.

Solución del problema:
Análisis del ingreso semanal: