..En tiempos remotos vivía en la India, en la apartada región de Taligana, un generoso rey llamado Iadava, quien había perdido en reciente batalla a su hijo el príncipe Adjamir.
La tristeza y la angustia invadió al rey sumiéndolo en un profundo estado de melancolía que le separó de la vida pública de su provincia; el rey no entendía cómo habiendo ganado la batalla, su hijo el príncipe debió perder la vida.
Sus ministros y cortesanos hicieron lo imposible para distraer a su Rey; bufones, balabaristas, adivinos y afamados músicos y bailarines desfilaron ante el acongojado Rey; todo sin resultado positivo.
Enterado de ello, un modesto joven llamado Sissa, del pueblo de Lahur, se dedicó a crear un juego tan interesante que pudiera distraerlo de sus múltiples pesares, le hiciera comprender los errores de su campaña y le abriera nuevamente el corazón a la alegría. Presentado ante el atribulado soberano, Sissa precedió a abrir una caja en la que guardaba un hermoso tablero de 64 casillas, y un juego de piezas de madera tallada. Seguidamente explico a su Rey que se trababa simplemente de un juego en el que participaban dos personas, quienes tendrían a su disposición dos ejércitos; cada uno de ellos igualmente constituido por la infantería, constituida por ocho piezas pequeñas llamadas peones; dos elefantes (artillería pesada), dos caballos (caballería), dos visires (consejeros) y una Reina con su Rey.
La tristeza y la angustia invadió al rey sumiéndolo en un profundo estado de melancolía que le separó de la vida pública de su provincia; el rey no entendía cómo habiendo ganado la batalla, su hijo el príncipe debió perder la vida.
Sus ministros y cortesanos hicieron lo imposible para distraer a su Rey; bufones, balabaristas, adivinos y afamados músicos y bailarines desfilaron ante el acongojado Rey; todo sin resultado positivo.
Enterado de ello, un modesto joven llamado Sissa, del pueblo de Lahur, se dedicó a crear un juego tan interesante que pudiera distraerlo de sus múltiples pesares, le hiciera comprender los errores de su campaña y le abriera nuevamente el corazón a la alegría. Presentado ante el atribulado soberano, Sissa precedió a abrir una caja en la que guardaba un hermoso tablero de 64 casillas, y un juego de piezas de madera tallada. Seguidamente explico a su Rey que se trababa simplemente de un juego en el que participaban dos personas, quienes tendrían a su disposición dos ejércitos; cada uno de ellos igualmente constituido por la infantería, constituida por ocho piezas pequeñas llamadas peones; dos elefantes (artillería pesada), dos caballos (caballería), dos visires (consejeros) y una Reina con su Rey.
Tan sencilla y clara fue la presentación que pocas horas después el Rey conocía ya las reglas básicas del invento de Sissa, el juego del Ajedrez y se animaba a invitar a sus ministros para jugar partidas donde estos pudieran exhibir su inteligencia y talento militar.
Estas primeras partidas fueron muy provechosas porque lo enseñaron sobre la necesidad de planificar las acciones, la de luchar permanentemente por el logro de los objetivos y de sacrificar en ocasiones cosas valiosas en pro del bienestar de la mayoría. Además aprendió sobre los errores cometidos en combate permitiéndole comprender la importancia de la muerte de su hijo, del príncipe Adjamir, en la victoria obtenida para la sobrevivencia del reino de Taligana.
Días después, el muy entusiasmado el Rey Iadava comenzó a incorporarse a la vida pública, a atender los asuntos de estado y las necesidades de su pueblo.
Habiendo vuelto la alegría a la corte el Rey Iadava quiso premiar la imaginación a la inteligencia de su súbdito Sissa, habiendo recibido de su propio Rey ofertas de fortunas, tierras y poder, y luego de reflexionar largamente, Sissa le contestó que su único interés al inventar el juego del ajedrez era que la alegría volviera a la corte y al pueblo de Taligana.
Sin embargo, ante la insistencia del rey por recompensar su creación, Sissa le propuso que le pagara un grano de trigo por la primera casilla, dos granos por la segunda, 4 granos por la tercera y así sucesivamente hasta completar las 64.
Al rey aceptó la solicitud, aunque le parecía muy ingenua, ¿por qué no pedir una amplia extensión de terreno o una cantidad importante en oro y joyas preciosas?. Entonces el rey le solicitó a los matemáticos asesores que calcularan la cantidad de granos de trigo que debía entregarle a Sissa y que lo hicieran efectivo inmediatamente. A los pocos días, el grupo de matemáticos se presentó y le informa al rey que esa paga resulta imposible, que ni él con todo su poder podría saldar esa deuda.
Sorprendido el rey pregunta: ¿cuál es esa cantidad monstruosa a la que se refieren?.
Estas primeras partidas fueron muy provechosas porque lo enseñaron sobre la necesidad de planificar las acciones, la de luchar permanentemente por el logro de los objetivos y de sacrificar en ocasiones cosas valiosas en pro del bienestar de la mayoría. Además aprendió sobre los errores cometidos en combate permitiéndole comprender la importancia de la muerte de su hijo, del príncipe Adjamir, en la victoria obtenida para la sobrevivencia del reino de Taligana.
Días después, el muy entusiasmado el Rey Iadava comenzó a incorporarse a la vida pública, a atender los asuntos de estado y las necesidades de su pueblo.
Habiendo vuelto la alegría a la corte el Rey Iadava quiso premiar la imaginación a la inteligencia de su súbdito Sissa, habiendo recibido de su propio Rey ofertas de fortunas, tierras y poder, y luego de reflexionar largamente, Sissa le contestó que su único interés al inventar el juego del ajedrez era que la alegría volviera a la corte y al pueblo de Taligana.Sin embargo, ante la insistencia del rey por recompensar su creación, Sissa le propuso que le pagara un grano de trigo por la primera casilla, dos granos por la segunda, 4 granos por la tercera y así sucesivamente hasta completar las 64.
Al rey aceptó la solicitud, aunque le parecía muy ingenua, ¿por qué no pedir una amplia extensión de terreno o una cantidad importante en oro y joyas preciosas?. Entonces el rey le solicitó a los matemáticos asesores que calcularan la cantidad de granos de trigo que debía entregarle a Sissa y que lo hicieran efectivo inmediatamente. A los pocos días, el grupo de matemáticos se presentó y le informa al rey que esa paga resulta imposible, que ni él con todo su poder podría saldar esa deuda.
Sorprendido el rey pregunta: ¿cuál es esa cantidad monstruosa a la que se refieren?.
Calcular la cantidad de granos de trigo que responda correctamente a la pregunta anterior hecha por el rey. Dicha respuesta debe estar acompañada de una sucesión de recurrencia que describa el algoritmo para hacer los cálculos, así como su respectiva fórmula explícita. Debe aparecer el análisis de la deducción de dicha fórmula, exponiendo el proceso o estrategia seguida, por ejemplo, un análisis hacia adelante.
Al realizar un análisis hacia adelante observamos la siguiente sucesión:
Se puede representar mediante la sumatoria:
Esta sumatoria se puede representar mediante la siguiente fórmula:
Prueba por inducción:
1. ¿Pertenece 1 a S?
Por lo que 1 pertenece a S
2. Suponer n=k
3. Probar que se cumple para n=k+1
De esta forma queda demostrado que la fórmula es correcta.
La cantidad total de granos que debía pagar es
